35 Condições de Regularidade
\(C_1: \mathfrak{X} = \{x : f_\theta (x) > 0 \}\) não depende de “\(\theta\)”.
\(C_2: f_\theta\) é duas vezes diferenciável com respeito a “\(\theta\)” e suas derivadas são contínuas.
\(C_3:\) é possível trocar as derivadas pela integrais da seguinte forma: \[ \left\{\begin{aligned} &a)\ \frac{\partial}{\partial\theta} \int f_\theta(x) dx &= \int \frac{\partial}{\partial \theta} f_\theta(x) dx \\ &b)\ \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \theta^T} \int f_\theta(x) dx &= \int \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \theta^T} f_\theta(x) dx \end{aligned}\right. \]
\(C_4:\) \[ \left\{\begin{aligned} &\mathrm{a})\ E_\theta\left(\lVert\frac{\partial}{\partial\theta} \ln f_\theta(x)\rVert\right) < \infty,\ \forall \theta \in \Theta \\ &\mathrm{b})\ E_\theta\left(\lVert\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\theta^T} \ln f_\theta(x)\rVert^2\right) < \infty,\ \forall \theta \in \Theta. \end{aligned}\right. \]
Para as duas últimas condições, substituímos no caso discreto as integrais por somatórios.
\(C_5\): \(\Theta\) é aberto e convexo, ou seja, se \(\theta_1, \theta_2 \in \Theta\), então \[ \lambda\theta_1 + (1-\lambda)\theta_2 \in \Theta, \forall \lambda \in (0,1) \]
A condição (fraca) de identificabilidade \(C_6\): \[ E_{\theta_1}(U_n(\boldsymbol{X}_n,\theta_2)) = 0 \iff \theta_1 = \theta_2, \]
\(C_7\): A informação de Fisher existe, é positiva (definida) e finita.
\(C_8\): \[ \begin{aligned} & \sup_{\theta_2 \in \Theta} \left\lvert M(\theta,\theta_2) - \frac{1}{n}\lvert U_n(\boldsymbol{X}_n,\theta_2) \rvert \right\rvert \stackrel{P_\theta}{\rightarrow} 0\\ &\forall \theta \in \Theta, M(\theta, \theta_2) = \frac{1}{n}\left\lvert E_\theta(U_n(\boldsymbol{X}_n,\theta_2))\right\rvert \end{aligned} \]
\(C_8\) não é necessária se \(\hat{\theta}_{\mathrm{MV}}(\boldsymbol{X}_n)\) for consistente, ou seja, \[ \hat{\theta}_{\mathrm{MV}}(\boldsymbol{X}_n) \stackrel{P_\theta}{\rightarrow} \theta, \forall \theta \in \Theta. \]
\(C_9\): \[ \frac{1}{n} U_n'(\boldsymbol{X}_n,\theta^*_n) - \frac{1}{n} U_n'(\boldsymbol{X}_n,\theta) \stackrel{P_\theta}{\rightarrow} 0, \forall \theta \in \Theta. \] em que \(\theta^*_n\) é um estimador consistente qualquer para “\(\theta\)”.
Nem toda condição de regularidade é necessária para provar algum teorema. Em muitos casos, por exemplo, podemos utilizar apenas as condições \(C_1:C_4\), enquanto resultados mais fortes podem precisar de mais condições.