13  Intervalo de Confiança ou Estimador Intervalar

Seja \((X_1,\ldots, X_n)\) a.a. de \(X\sim f_\theta, \theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}\).

Um intervalo de confiança (IC) com coeficiente de confiança \(\gamma\) é um intervalo aleatório que satisfaz: \[ P_{\theta} (I_{1}(\pmb{X}_{n}) \leq \theta \leq I_{2} (\pmb{X}_{n})) = \gamma \forall \theta \in \Theta \]

em que \(\pmb{X}_{n} = (X_{1}\ldots,X_{n})\)

Observação

Se o intervalo aleatório \([I_{1} (\pmb{X}_{n}),I_{2}(\pmb{X}_{n})\) satisfaz \[ P_{\theta} (I_{1} (\pmb{X}_{n}) \leq \theta \leq I_{2} (\pmb{X}_{n})) \geq \gamma \forall \theta \in \Theta \]

Então o intervalo aleatório é um intervalo de confiança com pelo menos coeficiente de confiança \(\gamma\)

Observação

\(I_{1} (\pmb{X}_{n})\) e \(I_{2} (\pmb{X}_{n})\) são estatísticas e são tais que \[I_{1} (\pmb{X}_{n}) \leq I_{2} (\pmb{X}_{n})\]

Observação

Quando substituímos \((\pmb{X}_{n})\) pela amostra observada \((\pmb{x}_{n})\) temos que

\[ P_{\theta}(I_{1} (\pmb{x}_{n}) \leq \theta \leq I_{2} (\pmb{x}_{n})) = \begin{cases} 1, \text{ se } \theta \in [I_{1}(\pmb{x}_{n}), I_{2} (\pmb{x}_{n})] \\ 0, \text{ caso contrário } \end{cases} \]

13.1 IC sob normalidade para \(\mu\) com \(\sigma^2\) conhecido

Em uma distribuição normal \((\theta, \sigma^2)\), por exemplo, conseguimos de forma genérica para qualquer \(\gamma \in [0,1]\) encontrar pela tabela um valor de \(c_{\gamma}\) que satisfaça \(P(-c_{\gamma} \leq Z \leq c_{\gamma})\). Assim, \[ -c_{\gamma} \leq Z \leq c_{\gamma} \Leftrightarrow -c_{\gamma} \leq \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\theta)}{\sqrt{\sigma^{2}}} \leq c_{\gamma} \Leftrightarrow \bar{X} - c_{\gamma} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}} \leq \theta \leq \bar{X} + c_{\gamma} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}} \]

Portanto, \[ P_{\theta}\left(\bar{X} - c_{\gamma} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}} \leq \theta \leq \bar{X} + c_{\gamma} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}}\right) = \gamma \forall \theta \in \Theta \]

Dessa forma, \(\bar{X} - c_{\gamma} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}} \leq \theta \leq \bar{X} + c_{\gamma} \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{n}}\) é um intervalo de confiança cujo coeficiente de confiança é \(\gamma\).

13.1.1 Exemplo

Considere que a amostra observada foi \(1, 2.2, 3, 3.5\) de uma distribuição \(N(\theta, 3)\).

Encontre o IC observado com coeficiente de confiança de \(99\%\).

Primeiro encontramos a média: \(\bar{x} = 2.42\).

Dessa forma, \(c_{99\%} = 2.58\) e nosso intervalo de confiança é \[ \left[2.42 - 2.58 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}, 2.42 + 2.58\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\right] = [0.18, 4.65] \]

Dessa forma, se repetirmos o experimento \(N\) vezes, esperamos que \(\gamma = 99\%\) dos ICs observados contenham a quantidade de interesse.

13.1.1.1 Notação

\[ \mathrm{IC}(\theta, \gamma) = [I_{1} (\pmb{X}_{n}), I_{2} (\pmb{X}_{n})] \] Denotará o intervalo de confiança teórico

\[ \mathrm{IC}_{\mathrm{Obs}}(\theta, \gamma) = [I_{1} (\pmb{x}_{n}), I_{2} (\pmb{x}_{n})] \]

13.2 IC sob normalidade para \(\mu\) quando \(\sigma^2\) é desconhecido

Seja uma a.a de \(X\sim N(\mu, \sigma^2)\) em que \(\mu, \sigma^2\) são desconhecidos. Então, o IC para \(\mu\) com coeficiente de confiança \(\gamma\) é dado por

\[ \mathrm{IC}(\mu,\gamma) = \left[\bar{X} - t_{\gamma, n-1} \sqrt{\frac{s^2 (\pmb{X}_{n})}{n}}, \bar{X} +t_{\gamma, n-1} \sqrt{\frac{s^2 (\pmb{X}_{n})}{n}}\right] \]

Em que \(s^2 (\pmb{x}_{n}) = \frac{1}{n-1}\sum^{k}_{i=1}(X_i - \bar{x})^2\) e \(t_{y,(n-1)}\) deve ser calculado da tabela \(P(-t_{\gamma, n-1} \leq T_{n-1} \leq t_{\gamma, n-1}) = \gamma\), \(T_{n-1} \sim \mathrm{t-Student}(n-1)\)

Se a variância for desconhecida, substituímos \(\sigma^2\) pelo estimador \[ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum\limits^{n}_{i=1} (X_{i} - \bar{X})^2 \] e o valor de \(c_{\gamma}\) obtido de uma t-Student com \(n-1\) graus de liberdade.

Justificativa:

Se uma a.a. de \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\), \(\theta = (\mu, \sigma^2) \in \mathbb{R} \times\mathbb{R_{+}}\).

  1. \(\bar{X} \sim N (\mu, \frac{\sigma^2}{n})\)
  2. \(\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sim N(0,1)\)
  3. \(\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{(X_{i} - \bar{X})^2}{\sqrt{\sigma^2}} \sim \chi^2_{n-1}\)
  4. \(\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{s^2}} = \sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{s^2}} \cdot \frac{\sqrt{\sigma^2}}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sqrt{\sigma^2}}} {\sqrt{\frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{n-1}}}\)
  5. Se \(Z \sim N(0,1)\) e \(W \sim \chi^{2}_{k}\), então \(t = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{k}}} \sim t_{k}\)
  6. \(\sqrt{n} \frac{(\bar{X} - \mu)}{\sqrt{s^2}} \sim t_{(n-1)}\)

13.2.1 Exercício

Considere uma a.a de \(X\sim N(\mu, \sigma^2)\), ambos parâmetros desconhecidos, em que \(X\) é o retorno de um ativo específico. Considere que a seguinte amostra foi observada: \[ (-1.3\%, 0.4\%, -1.7\%, 3.2\%, 0.7\%, -1.6\%, 1.0\%, 1.5\%, 1.2\%, -0.6\%) \]

Encontre o IC para \(\mu\), com coeficiente de confiança \(\gamma = 99\%\)

Temos que \(s^2(\pmb{x}_{n}) = 2.48\) e \(\bar{x} = 0.28\). Da tabela, \(t_{99\%, 9} = 3.25\)

Sendo assim,

\[ \mathrm{IC}_{\mathrm{Obs}}(\mu,99\%) = \left[0.28 - 3.25 \sqrt{\frac{2.48}{10}}, 0.28 + 3.25\sqrt{\frac{2.48}{10}}\right] = [-1.34, 1.9] \]

13.3 IC sob normalidade para \(\sigma^2\) com \(\mu\) desconhecido

Seja uma a.a. de \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) em que \(\mu, \sigma^2\) são desconhecidos.

O intervalo de confiança para \(\sigma^2\) com coeficiente de confiança \(\gamma\) é dado por:

\[ \begin{aligned} \mathrm{IC} (\sigma^2, \gamma) = \left [\frac{(n-1)s^2(\pmb{X}_{n})}{q^{(2)}_{\gamma, n-1}}, \frac{(n-1)s^2(\pmb{X}_{n})}{q^{(1)}_{\gamma, n-1}}\right] \\ \mathrm{IC}_{\mathrm{Obs}} (\sigma^2, \gamma) = \left [\frac{(n-1)s^2(\pmb{x}_{n})}{q^{(2)}_{\gamma, n-1}}, \frac{(n-1)s^2(\pmb{x}_{n})}{q^{(1)}_{\gamma, n-1}}\right] \end{aligned} \]

em que \(s^2(\pmb{X}_{n}) = \frac{1}{n-1} \sum^{n}_{i=1} (X_i - \bar{X})^2\) e \(s^2(\pmb{x}_{n}) = \frac{1}{n-1} \sum^{n}_{i=1} (x_i - \bar{x})^2\) E \(q^{(1)}_{\gamma, n-1}, q^{(2)}_{\gamma, n-1}\) são obtidos calculando \(P(q^{(1)}_{\gamma, n-1} \leq W \leq q^{(2)}_{\gamma, n-1}) = \gamma\) no qual \(W\sim \chi^{2}_{n-1}\) e \(P(\chi^2_{n-1} \leq q^{(1)}_{\gamma, n-1}) = \frac{1-\gamma}{2} = P( \chi^2_{n-1} \geq q^{(2)}_{\gamma,n-1})\)

Demonstração:

Vamos construir um IC para a variância.

Note que \[\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{(X_{i} - \bar{X})^2}{\sqrt{\sigma^2}} \sim \chi^2_{n-1}\]

Note ainda que \(W \sim \chi^{2}_{n-1}\), ou seja, \(P(q^{(1)}_{\gamma, n-1} \leq W \leq q^{(2)}_{\gamma, n-1}) = \gamma\). Assim, \(W = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\).

Dessa forma,

\[ \frac{1}{q^{(2)}_{\gamma, n-1}} \leq \frac{\sigma^2}{(n-1) s^2} \leq \frac{1}{q^{(1)}_{\gamma, n-1}} \Leftrightarrow \frac{(n-1)s^2}{q^{(2)}_{\gamma, n-1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{q^{(1)}_{\gamma, n-1}} \]

em que \(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum^{n}_{i=1} (X_i - \bar{X})^2\)

Portanto, \[ P_{\theta}\left (\frac{(n-1)s^2}{q^{(2)}_{\gamma, n-1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{q^{(1)}_{\gamma, n-1}}\right) = \gamma \forall \theta \in \Theta\]

Exercício:

Considere uma a.a de \(X\sim N(0, \theta), \theta > 0\) em que \(X\) é o retorno de um ativo específico. Considere que a seguinte amostra foi observada: \[ (-1.3\%, 0.4\%, -1.7\%, 3.2\%, 0.7\%, -1.6\%, 1.0\%, 1.5\%, 1.2\%, -0.6\%) \]

Construa um intervalo de confiança para a variância (populacional) \(\theta\) com coeficiente de confiança \(\gamma = 95\%\).

O IC para a variância é \[ \mathrm{IC}(\theta, \gamma) = \left[\frac{(n-1)s^2 (\pmb{x}_{n})}{q^2_{\gamma,n-1}},\frac{(n-1)s^2 (\pmb{x}_{n})}{q^1_{\gamma,n-1}}\right] \]

em que \(s^2 (\pmb{x}_{n}) = \frac{1}{n-1}\sum^{k}_{i=1}(X_i - \bar{x})^2\) e \(q^{1}_{\gamma, n-1}, q^{2}_{\gamma, n-1}\) satisfazem as fronteiras que delimitam uma área de \(\gamma\) em torno da média. Nesse caso, como \(n = 10\), \(q^{1}_{9} = 2.7, q^{2}_{9} = 19.023\). Dessa forma, \(\bar{x} = 0.28, \sum_{i}x_{i}^2=2.308 \Rightarrow s^2(\pmb{x}_{n}) = \frac{10}{9}(2.308 - 0.28^2) = 2.48\)

Sendo assim \[ \mathrm{IC}_{\mathrm{Obs}}(\theta, 95\%) = \left[\frac{9 \cdot 2.48}{19.023}, \frac{9 \cdot 2.48}{2.7}\right] = [1.17, 8.27] \]

Podemos concluir que, com uma confiança de \(95\%\), a variância está nesse intervalo.

13.4 Intervalo de Confiança para a proporção

Seja \((\pmb{x}_{n})\)uma amostra aleatória de \(X\sim Ber(\theta)\) em que \(\theta \in [0,1]\). Sabemos que, pelo Teorema do Limite Central

\[ \bar{X} \stackrel{a}{\approx} N\left( \theta, \frac{\theta (1-\theta)}{n} \right) \]

Dessa forma, \[ \frac{\sqrt{ n }(\bar{X}-\theta)}{\sqrt{ \theta(1-\theta) }} \stackrel{a}{\approx} N(0,1) \]

Além disso, pelo Teorema de Slutsky \[ \frac{\sqrt{ n }(\bar{X}-\theta)}{\sqrt{ \bar{X}(1-\bar{X}) }} \stackrel{a}{\approx} N(0,1) \]

Observe que, se \(Z \sim N(0,1)\) então \(-c_{\gamma}\leq Z \leq c_{\gamma} \Leftrightarrow -c_{\gamma } \leq \frac{\sqrt{ n }(\bar{X}-\theta)}{\sqrt{ \bar{X}(1-\bar{X}) }}\leq c_{\gamma}\) \[ \Leftrightarrow \bar{X} - c_{\gamma} \sqrt{ \frac{\bar{X} (1-\bar{X})}{n} } \leq \theta \leq \bar{X} + c_{\gamma} \sqrt{\frac{\bar{X} (1-\bar{X})}{n}} \]

Então, seja \(c_{\gamma}\) tal que \[ \begin{aligned} &P (-c_{\gamma}\leq N(0,1)\leq c_{\gamma }) = \gamma \\ \Rightarrow &P_{\theta}\left(\bar{X} - c_{\gamma} \sqrt{ \frac{\bar{X} (1-\bar{X})}{n} } \leq \theta \leq \bar{X} + c_{\gamma} \sqrt{ \frac{\bar{X} (1-\bar{X})}{n} }\right) \approx \gamma~ \forall \theta \in \Theta = [0,1] \end{aligned} \]

que melhora conforme \(n \rightarrow \infty\)

Logo, um IC aproximado com coeficiente de confiança \(\gamma\) é dado por \[ IC(\theta, \gamma) = \left[\bar{X} - c_{\gamma} \sqrt{ \frac{\bar{X} (1-\bar{X})}{n} }, \bar{X} + c_{\gamma} \sqrt{ \frac{\bar{X} (1-\bar{X})}{n} }\right] \cap \Theta \]

13.4.1 Exemplo

Seja \((\pmb x_{n })\) uma amostra aleatória de \(X\sim \mathrm{Ber} (\theta)\) em que \(\theta \in [0,1]\). \[ X(w) = \begin{cases} 1, \text{ se w disser que vota no candidato} \\ \\ 0, c.c \end{cases} \] A amostra observada foi \((0,0,0,1,0,0,0,1)\). Encontre o IC para a proporção de intenção de votos no candidato considerando \(\gamma = 99\%\)

\(\bar{x} = \frac{1}{4 }, \bar{x}(1-\bar{x}) = \frac{3}{16}, n = 8, c_{\gamma} = 2.58\)

\[ \begin{aligned} \mathrm{IC}_{\mathrm{Obs}}(\theta, 99\%) &= \left[0.25- 2.58 \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{8}}, 0.25 - 2.58 \frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{8}}\right] \cap [0,1] \\ &= [0.25 - 0.39, 0.25 + 0.39] \cap [0,1] \\ &= [0,0.64] \end{aligned} \]

13.4.2 Intervalos conservadores e otimistas

Um intervalo de confiança de proporção é dito ser conservador quando o calculamos tomando \(\theta\) Na variância (\(\theta(1-\theta)\)) como o valor mais alto possível. No exemplo Bernoulli, o valor máximo para \(\theta\) (derivando \(\theta(1-\theta)\) e igualando a 0, \(1-2 \theta = 0\)) é \(\theta=0.5\). Dessa forma, o IC conservador é calculado usando \(\theta=0.5\).

Por sua vez, um IC otimista é calculado usando o valor de \(\theta\) obtido através do EMV para \(\theta\), no caso Bernoulli, usaríamos essa variância como \(\bar{X}(1-\bar{X})\)

13.5 Como interpretar intervalos de confiança

Importante:

Na estatística clássica (frequentista), devemos interpretar um intervalo de confiança \([a,b]\) com \(\gamma=0.95\) da seguinte forma:

“Com \(95\%\) de confiança, o intervalo \([a,b]\) conterá o valor da quantidade de interesse”.

Isso é importante para diferenciar a interpretação frequentista (Theta do espaço paramétrico) da Bayesiana (Theta como variável aleatória). Dessa forma, estaria incorreto na estatística clássica dizer que

“O intervalo \([a,b]\) conterá a quantidade de interesse com probabilidade \(95\%\)” ou “O intervalo \([a,b]\) conterá a quantidade de interesse \(95\%\) das vezes”