11  Distribuição Qui-Quadrado

Se \(Z\sim N(0,1)\), então \(Z^{2}\sim \chi^2\), como provado por transformação de variáveis aleatórias

Se \(W\sim \chi^{2}_{k}\), então sua função densidade de probabilidade é dada por \[ \begin{cases} \frac{1}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)\cdot 2 ^{\frac{k}{2}}}\cdot w^{\frac{k}{2} -1} \cdot e^{-\frac{1}{2}w}, ~ ~~ w > 0 \\ 0, cc \end{cases} \] Sendo assim, \[ \begin{cases} E(W) = k \\ \mathrm{Var}(W) = 2k \end{cases} \] Se \(Z_{1},Z_{2,}\dots,Z_{N}\stackrel{\text{iid}}{\sim} N(0,1)\), então \[Z_{1}^{2}+\dots+Z_{n}^{2}\sim \chi^{2}_{n}\] Prova por função característica

Se \(X_{1},\dots,X_{n} \stackrel{\text{iid}}{\sim}N(\mu,\sigma^{2}),\) então \[ \frac{(X_{1}-\mu)^{2}+\dots+(X_{n}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{n} \] Se \(X_{1},\dots,X_{n} \stackrel{\text{iid}}{\sim}N(\mu,\sigma^{2}),\) então \[ \frac{(X_{1}-\bar{X})^{2}+\dots+(X_{n}-\bar{X})^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{n-1} \]

Ademais, se \(Y\sim \chi^2_{\nu}\), então \[ \frac{Y-\nu}{\sqrt{2\nu}} \stackrel{a}{\approx} N(0,1) \] para \(\nu > 30\)