5 Função de Verossimilhança
Quando analisamos a distribuição conjunta da amostra em função de \(\theta\) nos valores da amostra observada, temos a Função de Verossimilhança
\[ \mathrm{L}_{\boldsymbol{x}}(\theta)=P_\theta(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots,X_{n}=x_{n}) \]
em que \(\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\) é a amostra observada.
A função de verossimilhança, no caso discreto, é a probabilidade de observar a amostra observada.
5.1 Exemplo
Considere \((X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})\) a.a de \(X\sim \text{Ber}(\theta), \theta \in \{0.1, 0.5, 0.9 \}\). Note que o espaço paramétrico é \(\Theta=\{0.1,0.5,0.9 \}\). Considere, ainda, que a amostra observada foi \((0,1,1,1)\). Encontre a função de verossimilhança.
\[ \begin{aligned} L_{\boldsymbol{x}_n}(\theta)&=P_\theta(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3},X_{4}=x_{4}) \\ &= \theta^{\sum\limits^{4}_{i=1}x_{i}} (1-\theta)^{4-\sum\limits^{4}_{i=1}x_{i}}\cdot \cancelto{1}{\prod^{4}_{i=1}\mathbb{1}_{\{0,1 \}}(x_{i})} = \theta^{3}(1-\theta) \end{aligned} \]