15  Teste de Hipótese para duas populações

Sejam \(X, Y\) duas variáveis de interesse representando duas sub-populações. Estamos interessados em verificar se a média populacional de \(X\) é menor, maior ou igual à de \(Y\). Sendo assim, precisamos considerar os casos em que \(X\) é independente de \(Y\) e o caso em que não são independentes (pareados).

15.1 Dados independentes e dependentes

Um pesquisador propôs um novo método de investimento para aumentar o rendimento mensal. Selecionou 20 investidores aleatoriamente de um universo de investidores cadastrados. Em um primeiro momento, o pesquisador deixou os investidores investirem do jeito que sabem e ao final verificou a renda obtida. \(X\) é o rendimento dos investidores sem ter o conhecimento do método.

Então, o pesquisador ensinou seu método aos investidores, onde \(Y\) passou a ser o rendimento dos investidores após a aplicação do método ensinado.

Claramente, \(X,Y\) são dependentes.

O mesmo pesquisador testará o mesmo método de forma diferente. Para testar o seu método, o pesquisador selecionou 20 indivíduos com características similares do universo de investidores, dos quais

1. 10 foram designados aleatoriamente a não receber o método \(X:\) rendimento de um indivíduo que não recebeu o método

2. 10 foram designados aleatoriamente a receberem o método \(Y:\) rendimento de um indivíduo que recebeu o método

Nesse caso, as variáveis \(X,Y\) são independentes.

Em ambas abordagens, temos as mesmas hipóteses de interesse: \[ 1. \begin{cases} H_{0}:\mu_{X}\geq \mu_{y} \\ H_{1}: \mu_{X} < \mu_{Y} \end{cases} ~~~2. \begin{cases} H_{0}:\mu_{X}\leq \mu_{Y} \\ H_{1}: \mu_{X} > \mu_{Y} \end{cases} ~~~3. \begin{cases} H_{0}:\mu_{X}= \mu_{Y} \\ H_{1}: \mu_{X} \neq \mu_{Y} \end{cases} \]

Podemos definir \(\mu_{D}=\mu_{X}-\mu_{Y}\) e reescrever as hipóteses \[ 1. \begin{cases} H_{0}:\mu_{D} \geq 0 \\ H_{1}: \mu_{D} < 0 \end{cases} ~~~2. \begin{cases} H_{0}:\mu_{D} \leq 0 \\ H_{1}: \mu_{D} > 0 \end{cases} ~~~3. \begin{cases} H_{0}:\mu_{D} = 0 \\ H_{1}: \mu_{D} \neq 0 \end{cases} \]

Para os próximos exemplos, assumiremos normalidade para \(X,Y\)

15.1.1 Caso pareado (variáveis dependentes)

No caso em que \(X,Y\) são dependentes, as amostras são \((X_{n})\) amostras aleatórias de \(X\) e \((Y_{n})\) a.a de \(Y\) tais que \(X_{i},Y_{i}\) são dependentes.

Para este caso, fazemos \(D_{i}=X_{i}-Y_{i},i=1,2,\dots, n\). Temos que \((D_{n})\) é uma amostra aleatória de \(D=X-Y \sim N(\mu_{D},\sigma^2_{D})=N(\mu_{X}-\mu_{Y},\sigma^2_{X}+\sigma^2_{Y}-2 \rho\sigma_{X}\sigma _{Y})\)

Observe ainda que \[ \bar{D}_{\mathrm{Par}}=\sum^{n}_{i=1} \frac{D_{i}}{n} \sim N\left( \mu_{D}, \frac{\sigma^2_{D}}{n} \right) \] Note ainda que as variância e covariância de \(X,Y\) estão embutidas em \(\sigma^2_{D}\). Podemos usar \[ s^2_{D}(\underset{\sim}{D})=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(D_{i}-\bar{D}_{\mathrm{Par}})^2 \] Para estimar \(\sigma^2_{D}\) Podemos construir as decisões como já vimos anteriormente em testes sob normalidade com variância desconhecida.

15.1.2 Exemplo

Foram coletados os rendimentos (em mil reais) antes e após a aplicação o método para 12 investidores. Queremos verificar se o método aumentou o rendimento médio. Chamaremos de \(X\) o rendimento anterior ao treinamento e \(Y\) o rendimento após. Isto é, queremos verificar se \(\mu_{D}=\mu_{X}-\mu_{Y}\leq 0\). Portanto, nossa hipótese nula é de que o treinamento não tem efeito positivo no rendimento:

\[ \begin{cases} H_{0}:\mu_{D} \geq 0 \\ H_{1}: \mu_{D} < 0 \end{cases} \]

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \mathrm{Indíce} & \mathrm{Antes}(X) & \mathrm{Depois}(Y) & \mathrm{Dif}(D) & \mathrm{Dif^2}(D^2)\\ \hline 1 & 2.4 & 4.3 & -1.9 & 3.61\\ 2 & 2.8 & 3.4 & -0.6 & 0.36\\ 3 & 4.6 & 3.2 & 1.4 & 1.96\\ 4 & 3.1 & 3.3 & -0.2 & 0.04\\ 5 & 3.1 & 3.3 & -0.2 & 0,04\\ 6 & 4.7 & 5.8 & -1.1 & 1.21\\ 7 & 3.5 & 3.8 & -0.3 & 0.09\\ 8 & 1.7 & 3.5 & -1.8 & 3.24\\ 9 & 2.3 & 3.2 & -0.9 & 0.81\\ 10 & 2.6 & 3.9 & -1.3 & 1.69\\ 11 & 4.2 & 3.6 & 0.6 & 0.36\\ 12 & 3.4 & 4.3 & -0.9 & 0.81\\ \hline \mathrm{Média} & 3.2 & 3.8 & -0.6 \\ s^2 & 0.87 & 0.55 & 0.9 \end{array} \]

Temos que \(s^2(\underset{\sim}{D})=0.9\). (Podemos calcular diretamente ou usando a coluna \(D^2\) e substituindo no somatório \(s^2_{D}=\left( \frac{\sum^n_{i=1}d_{i}^2}{n}-\bar{d}^2 \right) \frac{n}{n-1}\) ) Rejeitamos \(H_{0}\) se \(\frac{\bar{d}_{\mathrm{Par}}}{\sqrt{ \frac{s^2_{D}}{n}}}<-t_{\alpha,n-1}\) onde \(t_{\alpha,n-1}\) é tal que \(P(t_{n-1}<-t_{\alpha,n-1})=\alpha\), onde \(t_{n-1}\) é a distribuição T de Student com \(n-1\) graus de liberdade.

Temos que \(\frac{\bar{d}_{\mathrm{Par}}}{\sqrt{ \frac{s^2_{D}}{n}}} =-2.19\) e, a \(\alpha=0.05\), \(-t_{0.05,11}=-1.796\). Como \(-2.19< -1.796\), podemos dizer que há evidências de que o método aumenta o rendimento médio dos investidores a \(5\%\) de significância. Por outro lado, com \(\alpha=0.01, -t_{0.01,11}=-2.718\) e, por \(-2.19\geq -2.718\), dizemos que não há evidências para rejeitar a hipótese de que o método não aumenta o rendimento (rejeitar a hipótese nula) a 1% de significância estatística.

15.2 Caso de independência

Sejam \(X, Y\) variáveis aleatórias independentes tais que \[ \begin{cases} X\sim N(\mu_{X},\sigma^2_{X}) \\ Y\sim (\mu_{Y},\sigma^2_{Y}) \end{cases} \] Considere \((X_{n})\) amostra aleatória de \(X\) e \((Y_{m})\). Estamos interessados em testar as hipóteses: \[ 1. \begin{cases} H_{0}:\mu_{X}\geq \mu_{Y} \\ H_{1}: \mu_{X} < \mu_{Y} \end{cases} ~~~2. \begin{cases} H_{0}:\mu_{X}\leq \mu_{Y} \\ H_{1}: \mu_{X} > \mu_{Y} \end{cases} ~~~3. \begin{cases} H_{0}:\mu_{X}= \mu_{Y} \\ H_{1}: \mu_{X} \neq \mu_{Y} \end{cases} \] Podemos definir \(\mu_{D}=\mu_{X}-\mu_{Y}\) e obter a equivalência dessas hipóteses \[ 1. \begin{cases} H_{0}:\mu_{D} \geq 0 \\ H_{1}: \mu_{D} < 0 \end{cases} ~~~2. \begin{cases} H_{0}:\mu_{D} \leq 0 \\ H_{1}: \mu_{D} > 0 \end{cases} ~~~3. \begin{cases} H_{0}:\mu_{D} = 0 \\ H_{1}: \mu_{D} \neq 0 \end{cases} \] Considere \[ \bar{D}_{\mathrm{NPar}}=\bar{X}-\bar{Y} \]

Como \(\bar{X}\sim N\left( \mu_{X}, \frac{\sigma^2_{X}}{n} \right), \bar{Y} \sim N\left( \mu_{Y}, \frac{\sigma^2_{Y}}{m} \right)\), temos que \(\bar{D}_{\mathrm{NPar}} \sim N\left( \mu_{D}, \frac{\sigma^2_{X}}{n} + \frac{\sigma^2_{Y}}{m} \right)\)

15.2.1 Ambas variâncias conhecidas

Podemos substituir o valor numérico das variâncias na distribuição de \(\bar{D}_{\mathrm{NPar}}\), obtendo uma distribuição normal com pontos de corte para as decisões:

\[ \begin{aligned} 1. &\text{ Rejeita $H_{0}$ se } \bar{d}_{\mathrm{NPar}} < -z_{\alpha} \underbrace{\sqrt{ \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2}{m} }}_{\mathrm{Var}(\bar{D}_{\mathrm{NPar}})}, \sigma_{2}=\sigma^2_{X}=\sigma^2_{Y} \\ 2. & \text{ Rejeita $H_{0}$ se } \bar{d}_{\mathrm{NPar}} > z_{\alpha} \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2}{m} } \\ 3. & \text{ Rejeita $H_{0}$ se } \bar{d}_{\mathrm{NPar}} < -z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2}{m} } \text{ ou } \bar{d}_{NPar} > z_{\alpha} \sqrt{ \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2}{m} } \end{aligned} \]

15.2.2 Variâncias desconhecidas e iguais

Temos que \(\sigma^2_{X}=\sigma^2_{Y}=\sigma^2\) é conhecido.

15.2.2.1 Estimando via t-Student

Através da distribuição t-Student com \(n+m-2\) graus de liberdade, podemos estimar os pontos de corte. Temos nossas decisões: \[ \begin{aligned} 1. &\text{ Rejeita $H_{0}$ se } \bar{d}_{\mathrm{NPar}} < -t_{n+m-2,\alpha} \sqrt{ \frac{s_{p}^2}{n} + \frac{s_{p}^2}{m} } \\ 2. & \text{ Rejeita $H_{0}$ se } \bar{d}_{\mathrm{NPar}} > t_{n+m-2,\alpha} \sqrt{ \frac{s^2_{p}}{n} + \frac{s^2_{p}}{m} } \\ 3. & \text{ Rejeita $H_{0}$ se } \bar{d}_{\mathrm{NPar}} < -t_{n+m-2,\frac{\alpha}{2}} \sqrt{ \frac{s^2_{p}}{n} + \frac{s^2_{p}}{m} } \text{ ou } \bar{d}_{NPar} > t_{n+m-2, \frac{\alpha}{2}} \sqrt{ \frac{s^2_{p}}{n} + \frac{s^2_{p}}{m} } \end{aligned} \] Onde \(s^2_{p}= \frac{(n-1)s^2_{X}+(m-1)s^2_{Y}}{n+m-2}\), com \(s^2_{X}, s^2_{Y}\) sendo os estimadores não enviesados para as variâncias de \(X\) e \(Y\), respectivamente. (Ponderamos os estimadores com base no tamanho de sua amostra, assim favorecendo os estimadores mais precisos)

15.2.3 Variâncias desconhecidas e diferentes (caso geral)

Temos que \(\sigma^2_{X},\sigma^2_{Y}\) são desconhecidos e diferentes.

15.2.3.1 Estimando via t-Student

usaremos a distribuição t-Student com \(n'\) graus de liberdade. Temos nossas decisões:

\[ \begin{aligned} 1. &\text{ Rejeita $H_{0}$ se } \bar{d}_{\mathrm{NPar}} < -t_{n',\alpha} \sqrt{ \frac{s_{p}^2}{n} + \frac{s_{p}^2}{m} } \\ 2. & \text{ Rejeita $H_{0}$ se } \bar{d}_{\mathrm{NPar}} > t_{n',\alpha} \sqrt{ \frac{s^2_{p}}{n} + \frac{s^2_{p}}{m} } \\ 3. & \text{ Rejeita $H_{0}$ se } \bar{d}_{\mathrm{NPar}} < -t_{n',\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{s^2_{p}}{n} + \frac{s^2_{p}}{m}} \text{ ou } \bar{d}_{NPar} > t_{n', \frac{\alpha}{2}} \sqrt{ \frac{s^2_{p}}{n} + \frac{s^2_{p}}{m} } \end{aligned} \]

Onde \(s^2_{p}= \frac{(n-1)s^2_{X}+(m-1)s^2_{Y}}{n+m-2}\).

15.2.3.1.1 Encontrando \(n’\)

Na fórmula acima, temos os graus de liberdade da t-Student dado por \[ n' \approx \frac{\left(\frac{s^2_{X}}{n}+\frac{s^2_{Y}}{m}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_{X}}{n}\right)^2} {n-1}+\frac{\left(\frac{s^2_{Y}}{m}\right)^2}{m-1}} \] Esse valor, caso não inteiro, deverá ser arredondado.

15.2.3.2 Exemplo (Importante)

Queremos testar a resistência de dois tipos de viga de aço, \(A\) e \(B\). Tomando-se \(n=15\) vigas do tipo \(A\) e \(m=20\) vigas do tipo \(B\). de um teste \(f\), conseguimos com \(10\%\) de significância que as variâncias não são iguais. Obtemos os valores da tabela: \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Tipo} & \text{Média} & \text{Variância} (s^2) \\ \hline A & 70.5 & 81.6 \\ B & 84.3 & 210.8 \\ \bar{d}_{\mathrm{NPar}} & -13.8 & -- \end{array} \] Teste a hipótese \[ \begin{cases} H_{0} : \mu_{X} = \mu_{Y} \\ H_{1}:\mu_{X} \neq \mu_{Y} \end{cases} \] Com significância \(\alpha = 0.05\) para os casos

15.2.3.2.1 Caso 1. Variâncias conhecidas

Temos do produtor que \(\sigma^2_{X}=81, \sigma^2_{Y}=209\) \(\bar{d}_{\mathrm{NPar}}=70.5-84.3 = -13.8\). Logo, \(z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{ \frac{81}{15} + \frac{209}{20}}=7.8\). Como \(-13.8 < -7.8\), concluímos que há evidências para rejeitarmos a hipótese nula de que as resistências médias das vigas \(A,B\) são iguais a \(\alpha = 5\%\) de significância estatística

15.2.3.2.2 Caso 2. Variâncias desconhecidas e iguais.

Para \(\alpha=0.05\), \(t_{33,0.025}=2.03\). Encontrando \(s^2_{P} = 155.988\). Finalmente, \(t_{33,0.025} \sqrt{ \frac{s^2_{P}}{n} + \frac{s^2_{P}}{m} }=8.65\). Como \(-13.8 < -8.65\), concluímos que há evidências para rejeitarmos a hipótese nula a \(\alpha=5\%\) de significância estatística.

15.2.3.2.3 Caso 3. Variâncias desconhecidas e diferentes

Primeiro calculamos \(n'= 32.08 \stackrel{\text{Arrendonda}}{=}32\). Assim, \(t_{32,0.025} = 2.037\). Portanto, \(t_{32,0.025} \sqrt{ \frac{s^2_{X}}{n} + \frac{s^2_{Y}}{m} }=8.14\). Como \(-13.8 < -8.15\), concluímos que há evidências para rejeitarmos a hipótese nula a \(\alpha=5\%\) de significância estatística.