12  Teorema do Limite Central

Também conhecido como Teorema Central do Limite, é fundamental para a teoria da probabilidade e a estatística.

Seja \(X_{1},\dots,X_{n}\) a.a de \(X\sim f_{\theta},\theta \in \Theta : E_{\theta}(X^{2}) < \infty\), então: \[ \bar{X} \stackrel{\text{Aproximadamente}}{\sim }N\left(E_\theta(X), \frac{Var_{\theta}{X}}{n}\right) \]

Formalmente, temos o enunciado do Teorema do Limite Central: \[ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-E_\theta(x))}{\sqrt{\mathrm{Var}_\theta(X)}} \underset{n\rightarrow \infty}{\stackrel{\text{Distribuição}}{\rightarrow}} N\sim (0,1) \forall \theta \in \Theta \]

Se \(X\sim N(\mu, \sigma)\), então a distribuição é exata.

Ademais, seja \(g\) uma função contínua e diferenciável tal que \(g'(\theta)\neq0\). Então, \[ g(\bar{X}) \stackrel{\text{Aproximadamente}}{\sim}N\left(g(E_\theta(X)), \frac{g'(E_\theta(X))^{2}\mathrm{Var}_\theta(X)}{n}\right) \]

12.1 Exemplo

Seja \((X_{1},\dots,X_{n})\) a.a de \(X\sim Ber(\theta), \theta \in (0,1)\). Já vimos que EMV \(p/ \theta\) é \[ \bar{\theta}(X_{1},\dots,X_{n}) = \bar{X} \]

e o EMV p/ \(g(\theta) = \mathrm{Var}_{\theta(x)}= \theta(1-\theta)\) é: \[ \widehat{g(\theta)} = \bar{X}(1-\bar{X}). \]

Agora, \[ \begin{aligned} \bar{X} &\stackrel{\text{approx.}}{\sim} N\left(\theta, \frac{\theta(1-\theta)}{n}\right)\\ g(\bar{X}) = \bar{X}(1-\bar{X}) & \stackrel{\text{approx}}{\sim } N\left(\theta(1-\theta), \frac{[g'(\theta)]^{2} \theta(1-\theta)}{n}\right) \\ &~~~\Rightarrow~N\left(\theta(1-\theta), \frac{(1-2\theta)^{2}\theta(1-\theta)}{n}\right) \end{aligned} \]