7  Estimadores

São estatísticas cujo objetivo é estimar uma quantidade de interesse. Portanto, estimadores são também variáveis aleatórias.

7.1 Estimativas

São os valores observados a partir da amostra observada dos estimadores. Portanto, estimativas são valores numéricos

Exemplos: 1. \(\bar{X}\) é uma estatística, \(\bar{X}\) é um estimador para \(g(\theta)=E_\theta(X)\) 2. Observando \(\bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits^{n}_{i=1}x_{i}\) é uma estimativa Seja \((X_{1},X_{2})\) a.a de \(X\sim \text{Ber}(\theta), \theta \in (0,1)\). Considere as estatísticas e suas funções de probabilidade: \[ \begin{aligned} T_{1}(X_{1},X_{2}) &= X_{1}\\ T_{2}(X_{1},X_{2}) &= X_{2}\\ T_{3}(X_{1},X_{2}) &= X_{1}+X_{2}\\ T_{4}(X_{1},X_{2}) &= \max\{X_{1},X_{2}\}\\ T_{5}(X_{1},X_{2}) &= \min\{X_{1},X_{2}\}\\ T_{6}(X_{1},X_{2}) &= \frac{1}{2}[(X_{1}-\bar{X})^{2}+(X_{2}-\bar{X})^{2}]=S^{2}_{n}=\frac{1}{2}S_{n-1}^{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{array}{cccccccccc} (X_{1},X_{2}) & P_{\theta X_{1},X_{2}} & X_{1} & X_{2} & X_{1}+X_{2} & T_4 & T_5 & \bar{X}& S^{2}_{n} & S^{2}_{n-1} \\ \hline (0,0) & (1-\theta)^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ (1,0) & \theta(1-\theta) & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0.5 & 0.25 & 0.5\\ (0,1) & \theta(1-\theta) & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0.5 & 0.25 & 0.5\\ (1,1) & \theta^{2} & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ \hline \end{array} \]

Calcule para \(T \in \{T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},T_{5},T_{6} \}\)

a-) \(E_\theta(T)\)

\(E_\theta(T_{1}(X_{1},X_{2}))=E_\theta(X_{1})= (1-\theta)^{2}+1 \cdot\theta(1-\theta)+0 \theta(1-\theta)+1 \theta^{2}= \theta\)

O mesmo vale para \(T_2\)

\(E_\theta(T_{3}(X_{1},X_{2}))=E_\theta(X_{1}+X_{2})=2 \theta\) \(E_\theta(T_{4}(X_{1},X_{2}))=E_\theta(\max\{X_{1},X_{2}\})=0 \cdot (1-\theta)^{2}+ 1\cdot[2\cdot \theta(1-\theta)+ \theta^{2}] = 2\theta-\theta^{2}\) \(E_{\theta}(T_{5}(X_{1},X_{2}))=E_\theta(\min\{X_{1},X_{2} \})=\theta^{2}\) \(E_\theta(T_{6}(X_{1},X_{2}))=2 \theta(1-\theta)\)

b-) \(\mathrm{Var}_{\theta}(T)\)

Termine com os mesmos raciocínios

c-) \(P_\theta(T=0)\)

Termine com os mesmos raciocínios

Alguns resultados importantes:

\[ \begin{aligned} E_\theta(\bar{X})&=E_\theta(\frac{X_{1}+X_{2}}{2})=\theta, \theta \in(0,1)\\ E_{\theta}(\bar{X}^{2}) &= 0^{2}(1-\theta)^{2} + \frac{2}{4} \theta (1-\theta) + 1^{2}\theta^{2}=\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{2} \theta^{2}, \theta \in(0,1)\\ \Rightarrow \mathrm{Var}_\theta(\bar{X}) &= \frac{\theta+\theta^{2}}{2} - \theta^{2} =\frac{\theta (1-\theta)}{2}, \theta \in(0,1) \end{aligned} \]

Aplicando em nossa tabela (\(S_{n-1}^{2}\)):

\[ \begin{aligned} E_\theta([(X_{1}-\bar{X})^{2}+(X_{2}-\bar{X})^{2}])&= \theta(1-\theta)\\ E_\theta([(X_{1}-\bar{X})^{2}+(X_{2}-\bar{X})^{2}]^{2}) &= \frac{\theta(1-\theta)}{2}\\ \Rightarrow\mathrm{Var}_{\theta}([(X_{1}-\bar{X})^{2}+(X_{2}-\bar{X})^{2}]) &= \frac{1}{2}\theta(1-\theta) [1-2 \cdot \theta(1-\theta)] \end{aligned} \]

7.2 Propriedades dos estimadores para quantidades de interesse

7.2.1 Estimados não-viciados ou não-enviesados

Seja \((X_{1},\dots,X_{n})\) a.a. de \(X\sim f_{\theta,}\theta \in \Theta\) e considere \(T(X_{1},\dots,X_{n})=\hat{\theta}_n\) um estimador para \(\theta\). Dizemos que \(\hat{\theta}_n\) é não-enviesado para \(\theta \Leftrightarrow\) \[ E_\theta(\hat \theta_{n}) = \theta, \forall \theta \in \Theta \] De forma geral, \(T(X_{1},\dots,X_{n})\) é um estimador não-viciado para \(g(\theta) \Leftrightarrow\) \[ E_\theta(T(X_{1},\dots,X_{n}))=g(\theta), \forall \theta \in \Theta \] Caso contrário, dizemos que \(T(X_{1},\dots,X_{n})\) é viciado ou enviesado para \(g(\theta)\).

Dizemos que \(\hat\theta_{n}\) é fracamente consistente para \(\theta \Leftrightarrow\) \[ \lim_{n\to \infty}{P_\theta(|\hat \theta_{n}- \theta| > \epsilon)=0, \forall \theta \in \Theta} \] e para cada \(\epsilon>0\) fixado.

7.2.1.1 Estimadores não viciados assintoticamente

Dizemos que \(T(X_{1},\dots,X_{n})\) é um estimador assintoticamente não viciado para \(g(\theta) \Leftrightarrow\) \[ \lim_{n\to \infty}{E_\theta(T(X_{1},\dots,X_{n}))} = g(\theta), \forall \theta \in \Theta \]