4  Distribuição Amostral

Seja \((X_{1},\dots,X_{n})\) amostra aleatória (a.a.) de \(X\sim f_{\theta,}\theta \in \Theta\)

a Função Densidade de Probabilidade conjunta de \((X_{1}, X_{2},\dots,X_{n})\) é \(\forall \theta \in \Theta\), no caso discreto: \[ P_\theta(X_{1}=k_{1}, X_{2}=k_{2},\dots,X_{n}= k_{n})\stackrel{\text{ind}}{=}\prod^{n}_{i=1}P_\theta(X_{i}=k_{i}) \stackrel{\text{id}}{=}\prod^{n}_{i=1}P_\theta(X=k_{i})\stackrel{\text{def}}{=}\prod^{n}_{i=1}f_\theta(k_{i}) \]

no caso contínuo: \[ f_\theta^{(X_1, \dots, X_n)}(k_{1},k_{2},\dots,k_{n})\stackrel{\text{i.i.d}}{=}\prod^{n}_{i=1}f_{\theta}(k_{i}) \]

4.1 Exemplos

4.1.1 Exemplo um

Seja \((X_{1},X_{2},X_{3})\) uma a.a de \(X\sim \text{Ber}(\theta), \theta \in (0,1)\) 1. Especifique o espaço paramétrico 2. Calcule a função de probabilidade da amostra 3. Encontre as seguintes quantidade de interesses em função de \(\theta\) 1. \(g(\theta)=E_\theta(X)\) 2. \(g(\theta)=P_\theta(X=0)\) 3. \(g(\theta)=\mathrm{CV}_\theta(X)\) Resolução 1. \(\Theta=(0,1)\) 2. Duas resoluções possíveis 1. Dando valores à amostra \[\begin{aligned} &(X_{1}, X_{2},X_{3}) &P(X_{1}= k_{1},X_{2}= k_{2},X_{3}= k_{3})= \prod ^{3}_{i=1}P_\theta(X=k_{1})\\ &(0,0,0) &(1-\theta)^{3}\\ &(0,0,1) &(1-\theta)^{2}\theta\\ &(0,1,0) &(1-\theta)^{2}\theta\\ &(1,0,0) &(1-\theta)^{2}\theta\\ &(0,1,1) &(1-\theta)\theta^2\\ &(1,0,1) &(1-\theta)\theta^{2}\\ &(1,1,0) &(1-\theta)\theta^{2}\\ &(1,1,1) &\theta^{3}\\ \end{aligned} \] 2. Enunciando a função Observe que, se \(k \in \{0,1 \}\), \[\begin{aligned} &P_\theta(X=k)=\theta^{k}(1-\theta)^{1-k}\cdot\mathbb{1}_{\{0,1 \}}(k)\Rightarrow\\ &P_\theta(X_{1}=k,X_{2}=k_{2},X_{3}= k_{3})\stackrel{\text{i.i.d}}{=}\prod^{3}_{i=1}\{\theta^{k_{i}} (1-\theta)^{1-k_{i}}\mathbb{1}_{\{0,1 \}}(k_{i}) \} = \\ &= \theta^{\sum\limits^{3}_{i=1}k_{i}}(1-\theta)^{3-\sum\limits^{3}_{i=1}k_{i}}\prod^{3}_{i=1}\mathbb{1}_{\{0,1\}} (k_{i}) \end{aligned} \] 3. Em função de \(\theta\): 1. \(g(\theta)=E_\theta(X)=\theta\) 2. \(g(\theta)=P_\theta(X=0)=1-\theta\) 3. \(g(\theta)=\mathrm{CV}_\theta(X)=\frac{\sqrt{\theta(1-\theta)}}{\theta}\)

4.1.2 Exemplo dois

Seja \((X_{1},\dots,X_{n})\) uma a.a de \(X\sim\text{Pois}(\theta), \theta \in(0,\infty)\), encontre a f.p. conjunta da amostra. Como esse vetor é uma a.a. (ou seja, variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas), temos que \[ P_\theta(X_1=k_{1},\dots,X_{n}=k_{n})\stackrel{\text{iid}}{=}\prod^{n}_{i=1}P_\theta(X=k_{i})=\prod^{n}_{i=1}\{\mathrm{e} ^{-\theta} \cdot \frac{\theta^{k_{i}}}{k_{i}!}\} \] Sempre que \(k_{i}\in\{0,1,\dots \}, \forall i = 1,\dots,n\)

\[ \Rightarrow P_\theta(X_1=k_{1},\dots,X_{n}=k_{n})=\mathrm{e}^{-n \theta} \cdot \frac{\theta^{\sum\limits^{n}_{i=1}k_{i}}}{\prod^{n}_{i=1} (k_{i})!} \]

4.1.3 Exemplo contínuo um

Seja \((X_{1},\dots,X_{n})\) uma a.a de \(X\sim\text{Exp}(\theta), \theta \in(0,\infty)\), encontre a função densidade de probabilidade (f.d.p.) conjunta da amostra. \[ \begin{aligned} f_{\theta}^{(X_1,\dots,X_{n})}(k_{1},\dots,k_{n})&\stackrel{\text{iid}}{=}\prod^{n}_{i=1}f_\theta(k_{i})=\prod^{n}_{i=1} \{\theta \mathrm{e}^{-\theta k_{i}} \cdot \mathbb{1}_{(0,\infty )}(k_{i}) \} \\&\Rightarrow f_\theta^{(X_1,\dots,X_n)}(k_1,\dots,k_n)=\theta^{n} \cdot \mathrm{e}^{-\theta\sum\limits^{n}_{i=1}k_{i}} \cdot\prod^{n}_{i=1}\mathbb{1}_{(0,\infty)}(k_i) \end{aligned} \]

4.1.4 Exemplo contínuo dois

Seja \((X_{1},\dots,X_{n})\) uma a.a. (i.i.d) de \(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\) em que \(\theta=(\mu, \sigma^{2}) \in \Theta=\mathbb{R}\times \mathbb{R}_{+}\). Considere \(\stackrel{x}{\sim}=(x_{1},\dots,x_{n})\) a amostra observada.

\[ \begin{aligned} L_{\stackrel{X}{\sim}}(\theta) &\stackrel{\text{iid}}{=} \prod^{n}_{i=1}f_\theta(x_{i})= \prod^{n}_{i=1}\left\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \mathrm{exp}\{- \frac{1}{2\sigma^{2}}(x_{i}-\mu)^{2}\}\right\} \\ &= \frac{1}{(2 \pi \sigma^{2})^{\frac{x}{2}}}\cdot \mathrm{exp}\{- \frac{1}{2 \sigma^{2}} \sum\limits^{n}_{i=1}(x_{i}-\mu)^{2} \} \end{aligned} \]