24  Estatísticas Ancilares

Dizemos que \(U(\boldsymbol{X}_n)\) é uma estatística ancilar ao modelo se, e somente se, sua distribuição não depende de “\(\theta\)”.

24.1 Exemplo 1 (Normal \(\rightarrow \chi^2\))

Seja \(\boldsymbol{X}_n = (X_1,\dots,X_n)\) amostra aleatória de \(X\sim\mathrm{N}(\theta,2),\theta \in \Theta=\mathbb{R}\). \[ U(\boldsymbol{X}_n) = \sum^{n}{i=1} \frac{(X_i-\bar{X})^2}{2}\sim \chi^2_{(n-1)} \] é, portanto, ancilar ao modelo.

24.2 Exemplo 2 (Normal \(\rightarrow\) t-student)

Seja \(\boldsymbol{X}_n = (X_1,\dots,X_n)\) amostra aleatória de \(X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2),\theta = (\mu,\sigma^2) \in \Theta=\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\).

Note que:

\[ S(\boldsymbol{X}_n) = \sum \frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n-1)} \]

não é uma estatística apesar de sua distribuição não depender de “\(\theta\)”, uma vez que a estatística depende de “\(\theta\)”.

Construiremos duas novas estatísticas

Sejam, com \(k<n\), \[ \begin{aligned} S_1 (\boldsymbol{X}_n) &= \sum^k_{i=1}\frac{(X_i - \bar{X}_1)^2}{k-1} \\ S_2 (\boldsymbol{X}_n) &= \sum^n_{i=k+1}\frac{(X_i - \bar{X}_2)^2}{n-k-1} \end{aligned} \]

em que \[ \begin{cases} \bar{X}_1 &= \frac{1}{k} \sum^k_{i=1} X_i \\ \bar{X}_2 &= \frac{1}{n-k} \sum^n_{i=k+1} X_i \\ \end{cases} \]

Logo, \(S_2(\boldsymbol{X}_n)\) é independente de \(S_2(\boldsymbol{X}_n)\). Defina \[ S(\boldsymbol{X}_n) = \frac{S_1(\boldsymbol{X}_n)}{S_2(\boldsymbol{X}_n)} = \frac{\sum^k_{i=1}\frac{(X_i - \bar{X}_1)^2}{k-1}}{\sum^n_{i=k+1}\frac{(X_i - \bar{X}_2)^2}{n-k-1}} \sim \mathrm{F}_{k-1,n-k-1} \]

Portanto, essa estatística \(S(\boldsymbol{X}_n)\) é ancilar ao modelo.

Observações: (serão transferidas para uma seção própria posteriormente)

Se \((X_1,\dots,X_n)\) é amostra aleatória de \(X\sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)\), então

  1. \(\bar{X} \sim \mathrm{N}(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\) (por função geradora de momentos);

  2. \(\sum \frac{(X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n})\) (por função geradora de momentos e transformação de VAs);

  3. \(\sum \frac{(X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1})\) (por função geradora de momentos, álgebra linear e transformação de VAs);

Se \((X_1,\dots,X_n)\) é amostra aleatória de \(X\sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2)\) e \((Y_1,\dots,Y_n)\) a.a. de \(Y\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)\) são independentes, então

\[ \begin{aligned} 1.&\begin{cases} \sum^{n_1}_{i=1} \frac{(X_i - \mu_X)^2}{\sigma_X^2} \sim \chi^2_{n_1}) \\ \sum^{n_2}_{i=1} \frac{(Y_i - \mu_X)^2}{\sigma_Y^2} \sim \chi^2_{n_2}) \\ \end{cases}\\ 2.&\begin{cases} \sum^{n_1}_{i=1} \frac{(X_i - \bar{X})^2}{\sigma_X^2} \sim \chi^2_{n_1-1}) \\ \sum^{n_2}_{i=1} \frac{(Y_i - \bar{Y})^2}{\sigma_Y^2} \sim \chi^2_{n_2-1}) \\ \end{cases}\\ \end{aligned} \]

Se \(W\sim\chi^2_k\) e \(M\sim\chi^2_m\) são independentes, então

\[ \frac{\frac{W}{k}}{\frac{Q}{m}} \sim F_{(k,m)} \]

Se \(Z\sim\mathrm{N}(0,1)\) e \(W\sim\chi^2_{k}\), então

\[ \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{k}}} \sim t_{k} \]

24.3 Ancilar de Primeira Ordem

Dizemos que \(U(\boldsymbol{X}_n)\) é uma estatística ancilar de primeira ordem se, e somente se, \(E_{\theta}\left(U(\boldsymbol{X}_n)\right)\) (o primeiro momento) não depende de “\(\theta\)”.

Toda estatística ancilar é também ancilar de primeira ordem, mas a recíproca não é verdadeira. Segue disso que uma estatística que não é ancilar de primeira ordem não é ancilar.

24.3.1 Exemplo 1 (Normal)

Seja \(\boldsymbol{X}_n\) amostra aleatória de \(X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)\) e \(U(\boldsymbol{X}_n) = X_1 - \bar{X}\)

\[ E_\theta(U(\boldsymbol{X}_n)) = E_\theta(X_1) - E_\theta(\bar{X}) = \mu - \mu = 0, \forall \theta \in \Theta \]

\[ \begin{aligned} \mathrm{Var}_\theta (U(\boldsymbol{X}_n)) &= \mathrm{Var}_\theta (X_i - \bar{X}) \\ X_1 - \bar{X} &= X_1 - \frac{1}{n}X_1 - \dots - \frac{1}{n}X_n \\ &= (1-\frac{1}{n})X_1 - \frac{1}{n}X_2 - \dots - \frac{1}{n}X_n \\ \Rightarrow \mathrm{Var}_\theta (U(\boldsymbol{X}_n)) &= \left(1-\frac{1}{n}\right)^2 \sigma^2 + \underbracket{\frac{1}{n^2}\sigma^2 + \dots + \frac{1}{n^2}\sigma^2}_{n-1} \\ \Rightarrow \mathrm{Var}_\theta (U(\boldsymbol{X}_n)) &= \left(1-\frac{1}{n}\right)^2 \sigma^2 + \frac{n-1}{n^2}\sigma^2 \forall \theta \in \Theta \end{aligned} \]

depende de “\(\theta\)”.