30 Consistência
Dizemos que \(T(\boldsymbol{X}_n)\) é um estimador (fracamente) consistente para \(g(\theta)\) se, e somente se, para cada \(\epsilon > 0\) fixo,
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} P_\theta\left(\lvert T(\boldsymbol{X}_n) - g(\theta) \rvert > \epsilon\right) = 0, \forall \theta \in \Theta. \] ou \[ T(\boldsymbol{X}_n) \stackrel{P_\theta}{\rightarrow} g(\theta),\ \forall \theta \in \Theta. \]
Alguns livros escrevem \[ T(\boldsymbol{X}_n) \stackrel{p}{\rightarrow} g(\theta_0) \] em que \(\theta_0\) é o verdadeiro valor de \(\theta\) se, e somente se, para cada \(\epsilon > 0\) fixado: \[ \lim_{n\rightarrow \infty} P\left(\lvert T(\boldsymbol{X}_n) - g(\theta_0) \rvert > \epsilon\right) = 0. \] Apesar de ser uma forma comum de exposição para pessoas não treinadas em estatística, essa notação não está bem formalizada na estrutura do modelo estatístico clássico.
Dizemos \(T(\boldsymbol{X}_n)\) é fortemente consistente se, e somente se, \[ P_\theta\left(\lim_{n\rightarrow \infty} T(\boldsymbol{X}_n) = g(\theta)\right) = 1,\ \forall \theta \in \Theta. \] ou \[ T(\boldsymbol{X}_n) \stackrel{\mathrm{q.c.}[P_\theta]}{\rightarrow} g(\theta),\ \forall \theta \in \Theta. \]
Alguns livros escrevem \[ T(\boldsymbol{X}_n) \stackrel{\mathrm{q.c.}}{\rightarrow} g(\theta_0) \] em que \(\theta_0\) é o verdadeiro valor de \(\theta\) se, e somente se, \[ P\left(\lim_{n\rightarrow \infty}T(\boldsymbol{X}_n) = g(\theta_0)\right) = 1. \] Apesar de ser uma forma comum de exposição para pessoas não treinadas em estatística, essa notação não está bem formalizada na estrutura do modelo estatístico clássico.
Quando se diz que \(T(\boldsymbol{X}_n)\) é consistente para \(g(\theta)\), sem especificar a convergência, quer-se dizer que a convergência é fraca.
\[ P_\theta(\underbracket{\lim_{n\rightarrow \infty} T(\boldsymbol{X}_n) = g(\theta)}_{\{\omega \in \Omega : \lim\limits_{n\rightarrow \infty}T(\boldsymbol{X}_n(\omega))=g(\theta)\}}) \]
30.1 Teorema (da relação com o EQM)
Seja \(T(\boldsymbol{X}_n)\) um estimador para \(g(\theta) \in \mathbb{R}\) tal que o Erro Quadrático Médio \[ \mathrm{EQM}_\theta(T(\boldsymbol{X}_n), g(\theta)) = E_\theta[(T(\boldsymbol{X}_n) - g(\theta))^2] \] converge para \(0\) para cada \(\theta \in \Theta\). Então, \(T(\boldsymbol{X}_n)\) é fracamente consistente para \(g(\theta)\)
30.1.1 Prova
Seja \(\epsilon > 0\) fixado. Então, \[ \begin{aligned} P_\theta(\lvert T(\boldsymbol{X}_n) - g(\theta) \rvert > \epsilon) &= P_\theta((T(\boldsymbol{X}_n) - g(\theta))^2 > \epsilon^2) \\ &\stackrel{\mathrm{Chebyshev}}{\leq} \frac{E_\theta((T(\boldsymbol{X}_n - g(\theta))^2)}{\epsilon^2} = \frac{\mathrm{EQM}_\theta(T(\boldsymbol{X}_n),g(\theta))}{\epsilon^2} \\ \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} P_\theta(\lvert T(\boldsymbol{X}_n) - g(\theta) \rvert > \epsilon) &\leq 0,\ \forall \theta \in \Theta. \end{aligned} \] Logo, \(T(\boldsymbol{X}_n)\stackrel{P_\theta}{\rightarrow}g(\theta),\ \forall\theta \in\Theta.\)
Se \(\mathrm{EQM}_\theta(T(\boldsymbol{X}_n),g(\theta)) \stackrel{n\uparrow \infty}{\rightarrow} 0, \forall \theta \in \Theta\), então \[ T(\boldsymbol{X}_n) \stackrel{P_\theta}{\rightarrow}g(\theta),\ \forall \theta \in \Theta. \]
Usando desse recurso nos exercícios, basta mostrar que o EQM vai para zero quando \(n\) cresce.
Disso, temos que, se \(T(\pmb{X}_n)\) for assintóticamente eficiente, então será fracamente consistente.
30.2 Exemplos
30.2.1 Exemplo Bernoulli
Seja \(\pmb{X}_n\) amostra aleatória de \(X\sim \mathrm{Ber}(\theta), \theta \in \Theta = (0,1)\). Mostre que \(T(\pmb{X}_n)\) é consistente para \(g(\theta) = \theta\).
30.2.1.1 Resposta
Como \(E_\theta(\bar{X}) = \theta\) e \(\mathrm{Var}_\theta(\bar{X}) \frac{\theta(1-\theta)}{n}, \forall \theta \in \Theta.\), temos que \[ \begin{aligned} \mathrm{Viés}_\theta(\bar{X},\theta) &= 0, \forall \theta \in \Theta, \\ \lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Var}_\theta(\bar{X}) = 0, \forall \theta \in \Theta, \\ \Rightarrow \mathrm{EQM}_\theta(\bar{X},\theta) &\rightarrow 0, \forall \theta \in \Theta \Rightarrow \bar{X} \stackrel{P_\theta}{\rightarrow} \theta, \forall \theta \in \Theta. \end{aligned} \]
Poderíamos também, como \(\pmb{X}_n\) é uma amostra aleatória, utilizar a lei forte dos grandes números.
30.2.2 Exemplo Normal (média)
Seja \(\pmb{X}_n\) a.a. de \(X\sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2), \theta = (\mu,\sigma^2) \in \Theta = \mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\). Mostre que \(\bar{X}\) é consistente para \(g(\theta) = \mu.\)
30.2.2.1 Resposta
Como \(E_\theta(\bar{X}) = \mu, \mathrm{Var}_\theta(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}, \forall \theta \in \Theta\), temos que \[ \begin{aligned} \mathrm{Viés}_\theta(\bar{X},\mu) &= 0, \forall \theta \in \Theta, \\ \lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{Var}_\theta(\bar{X}) &= 0, \forall \theta \in \Theta, \\ \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{EQM}_\theta(\bar{X},\theta) &= 0, \forall \theta \in \Theta \\ \Rightarrow T(\pmb{X}_n) &= \bar{X} \text{ é fracamente consistente para } g(\theta) = \mu. \end{aligned} \]
30.2.3 Exemplo Normal (variância)
Seja \(\pmb{X}_n\) a.a. de \(X\sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2), \theta = (\mu,\sigma^2) \in \Theta = \mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\). Mostre que \[ T_k(\pmb{X}_n) = \frac{1}{n-k} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \] é consistente para \(g(\theta) = \sigma^2.\)
30.2.3.1 Resposta
Sabemos que \[ \sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n-1)}, \forall \theta \in \Theta. \]
Logo, \[ \begin{aligned} E_\theta(T_k(\pmb{X}_n)) &= E_\theta\left(\frac{1}{n-k} \sum (X_i - \bar{X})^2\right) \\ &= \frac{\sigma^2}{n-k}E_\theta\left(\sum \frac{(X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2}\right) \\ &= \frac{\sigma^2}{n-k}(n-1), \forall \theta \in \Theta. \end{aligned} \]
Ademais, \[ \begin{aligned} \mathrm{Var}_\theta(T_k(\pmb{X}_n)) &= \mathrm{Var}_\theta\left(\frac{1}{n-k} \sum (X_i - \bar{X})^2\right) \\ &= \frac{\sigma^4}{(n-k)^2}\mathrm{Var}_\theta\left(\sum \frac{(X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2}\right) \\ &= \frac{\sigma^4}{(n-k)^2}2(n-1), \forall \theta \in \Theta. \end{aligned} \]
Portanto, \[ \mathrm{EQM}_\theta = \frac{2\sigma^2}{(n-k)^2}(n-1) + \left(\frac{\sigma^2}{n-k}(n-1) - \sigma^2\right)^2 \]
Como \[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n-1}{n-k} = 1, \forall k \neq n, k \ \text{fixado} \] e \[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n-1}{(n-k)^2} = 0, \forall k \neq n, k\ \text{fixado} \] temos que \[ \lim_{n\rightarrow \infty} \mathrm{EQM}_\theta(T_k(\pmb{X}_n),\sigma^2) = 0, \forall \theta \in \Theta. \]
Logo, \(T(\pmb{X}_n)\) é consistente para \(\sigma^2, \forall k \neq n, \ k \text{fixado}\)