42  Distribuição de Hotelling

Sejam \(Z \sim N_p(\boldsymbol{0}, I)\) e \(M \sim \mathrm{Wishart}_p(I,m)\) independentes. Dizemos que \[ H = m \cdot Z^T M^{-1} Z \]

tem distribuição \(T^2\) de Hotelling.

::: {.callout-note, title=“Notação”} \[ H \sim T^2_{(p,m)} \] :::

Teorema 5. (continuação dos teoremas relacionados à distribuição de Wishart

Se \(\boldsymbol{X}_n \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)\) e \(M \sim \mathrm{Wishart}_p(\Sigma, m)\) forem independentes, então

\[ m \cdot (\boldsymbol{X} - \mu)^T M^{-1} (\boldsymbol{X} - \mu) \sim T^2_{(p,m)} \]

Prova.

Note que

\[ Z = \Sigma^{-1/2}(\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\mu}) \sim N_p(0, I) \]

e \[ M^*= \Sigma^{-1/2}M \Sigma^{-1/2} \sim \mathrm{Wishart}_p(I, m),\ \text{pois} \Sigma^{-1/2}M\Sigma^{-1/2} = I \]

Por definição,

\[ m Z^t M^* Z = m(\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\mu})^T M^{-1} (\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\mu}) \sim T^2_{(p,m)} \]

Teorema 6.

Seja \(\boldsymbol{X}_n^*\) a.a. de \(X \sim N_p (\boldsymbol{\mu}, \Sigma)\), então

\[ (n-1)(\bar{X} - \boldsymbol{\mu})^T [S_n^2]^{-1}(\boldsymbol{X}_n - \boldsymbol{\mu}) \sim T^2_{(p,n-1)} \]

Além disso, se \(C\) for uma matriz \(s \times p\) com linhas linearmente independentes, então

\[ (n-1)(C\bar{X} - C\boldsymbol{\mu})^T [CS_n^2C^{-1}]^{-1}(C\boldsymbol{X}_n - C\boldsymbol{\mu}) \sim T^2_{(s,n-1)} \]

Prova.

\[ \begin{aligned} \bar{X} \sim &N_p(\boldsymbol{\mu}, \Sigma) \\ n S^2_n \sim &\mathrm{Wishart}_p(\Sigma, n-1) \Rightarrow S^2_n \sim \mathrm{Wishart}_p\left(\frac{1}{n}\Sigma, n-1\right) \\ \stackrel{\text{Teo 5.}}{\Rightarrow}& (n-1)(\bar{X} - \boldsymbol{\mu})^T [S_n^2]^{-1}(\boldsymbol{X}_n - \boldsymbol{\mu}) \sim T^2_{(p,n-1)} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\begin{cases} C \bar{X} &\sim N_s(C \boldsymbol{\mu}, C \Sigma C^T) \\ C S_n^2 C^T &\sim \mathrm{Wishart}_s\left(C \Sigma C^T \frac{1}{n}, n-1\right) \end{cases} \Rightarrow & (n-1)(C\bar{X} - C\boldsymbol{\mu})^T [CS_n^2C^{-1}]^{-1}(C\boldsymbol{X}_n - C\boldsymbol{\mu}) \sim T^2_{(s,n-1)} \end{aligned} \]

Teorema 7.

\[ T^2_{p,m} \stackrel{d}{=} \frac{m \cdot p}{m-p+1} F_{p, m-p+1} \]

em que \(F\) é a distribuição \(F\) de Snedecor

Teorema 8.

Seja \(\boldsymbol{X}_n^*\) a.a. de \(\boldsymbol{X}_n \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)\), então

\[ \frac{n-p}{n} (\bar{X} - \boldsymbol{\mu})^T [S_n^2]^{-1}(\boldsymbol{X}_n - \boldsymbol{\mu}) \sim F^2_{(p,n-p)} \]

e

\[ \frac{n-s}{s}(C\bar{X} - C\boldsymbol{\mu})^T [CS_n^2C^{-1}]^{-1}(C\boldsymbol{X}_n - C\boldsymbol{\mu}) \sim F_{(s,n-s)} \]

Prova.

\[ \begin{aligned} (n-1)(\bar{X} - \boldsymbol{\mu})^T [S_n^2]^{-1}(\boldsymbol{X}_n - \boldsymbol{\mu}) &\sim T^2_{(p,n-1)} \\ \Rightarrow \frac{(n-1) -p + 1}{(n-1)p} (n-1)(\bar{X} - \boldsymbol{\mu})^T [S_n^2]^{-1}(\boldsymbol{X}_n - \boldsymbol{\mu}) &\sim F_{(p,n-p)} \\ \Rightarrow \frac{(n -p}{p} (\bar{X} - \boldsymbol{\mu})^T [S_n^2]^{-1}(\boldsymbol{X}_n - \boldsymbol{\mu}) &\sim F_{(p,n-p)} \end{aligned} \]

análogo para o segundo.