36  Resultados utilizando o Teorema de Slutsky

Nota 36.1: Método Delta

Seja \(T(\boldsymbol{X}_n)\) um estimador para “\(\theta\)”, \(\theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}\), assintoticamente normal, ou seja, \[ \sqrt{n} (T(\boldsymbol{X}_n) - \theta) \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} N(0, \mathrm{V}_\theta), \forall \theta \in \Theta. \]

Considere \(g : \Theta \rightarrow \mathbb{R}\) uma função diferenciável com derivada contínua tal que \(g'(\theta) \neq 0, \forall \theta \in \Theta\). Então, \[ \sqrt{n} (g(T(\boldsymbol{X}_n))- g(\theta)) \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} N(0, g'(\theta)^2V_\theta), \forall \theta \in \Theta. \]

Seja \[ \frac{\sqrt{n} (T(\boldsymbol{X}_n) - \theta)}{\sqrt{\mathrm{V}_\theta}} \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} N(0,1) \]

Pelo teorema de Slutsky, \[ \frac{\sqrt{n} (T(\boldsymbol{X}_n) - \theta)}{\sqrt{\mathrm{V}_{T(\boldsymbol{X}_n)}}} \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} N(0,1) \]

Ademais, seja \[ \frac{\sqrt{n} (g(T(\boldsymbol{X}_n)) - g(\theta))}{\sqrt{g'(\theta)^2\mathrm{V}_\theta}} \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} N(0,1) \]

Pelo teorema de Slutsky, \[ \frac{\sqrt{n} (g(T(\boldsymbol{X}_n)) - g(\theta))}{\sqrt{g'(T(\boldsymbol{X}_n))^2\mathrm{V}_{T(\boldsymbol{X}_n)}}} \stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} N(0,1) \]