19  Testes de Independência e Homogeneidade

Com a ajuda da tabela de frequências, conseguimos testar independência entre eventos e homogeneidade em distribuição de eventos. Por mais que utilizem o mesmo mecanismo, os dois testes são interpretados de forma diferentes e, portanto, também apresentados individualmente nesta seção.

19.1 Teste de Homogeneidade

Usamos esse teste para verificar se as medidas de probabilidade de vários grupos diferentes são iguais (seguem uma mesma distribuição).

Os totais marginais para cada grupo devem ser fixados antes de executarmos o experimento. \[ \begin{cases} H_{0}: \text{Os grupos são independentes} \\ H_{1} : \text{Pelo menos um dos grupos não é indepndente} \end{cases} \]

19.2 Teste de independência

Usamos esse teste para verificar se os eventos são independentes.

Aqui, apenas o tamanho amostral (total dos totais) é fixado.

\[ \begin{cases} H_{0}: \text{Os grupos se distribuem de forma equivalente} \\ H_{1} : \text{Pelo menos um dos grupos não se distribui de forma equivalente} \end{cases} \]

19.3 Exemplos

19.3.1 Primeiro exemplo (homogeniedade)

510 segurados foram amostrados, sendo 200 de São Paulo, 100 do Ceará e 210 de Pernambuco. O objetivo é verificar se o número de acidentes se distribui igualmente entre os estados. \[ \begin{array}{ccc} \mathrm{Indivíduos} & \mathrm{Estado} & \mathrm{Sinistralidade}\\ 1 & \mathrm{SP} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 200 & \mathrm{SP} & 0 \\ 1 & \mathrm{CE} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 100 & \mathrm{CE} & 0 \\ 1 & \mathrm{PE} & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 210 & \mathrm{PE} & 0 \end{array} \] Tabela Observada \[ \begin{array}{c|cc|c} & \mathrm{Sinistralidade} & \\ \mathrm{Estado} & 1 & 0 & \mathrm{Total} \\ \hline \mathrm{SP} & 60 & 140 & 200 \\ \mathrm{CE} & 10 & 90 & 100 \\ \mathrm{PE} & 50 & 160 & 210 \\ \hline \mathrm{Total} & 120 & 390 & 510 \end{array} \] Tabela esperada \[ \begin{array}{c|cc|c} & \mathrm{Sinistralidade} & \\ \mathrm{Estado} & 1 & 0 & \mathrm{Total} \\ \hline \mathrm{SP} & 47 & 153 & 200 \\ \mathrm{CE} & 24 & 76 & 100 \\ \mathrm{PE} & 49 & 161 & 210 \\ \hline \mathrm{Total} & 120 & 390 & 510 \end{array} \] Temos nossa estatística qui-quadrado \[ \begin{aligned} \chi^2_{obs} &= \frac{(60-47)^2}{47} + \frac{(140-153)^2}{153} + \frac{(10-24)^2}{24} + \frac{(90-76)^2}{76} \\ &+ \frac{(50-49)^2}{49} + \frac{(160-161)^2}{161} = 15.47 \end{aligned} \] Concluiremos o teste tomando \(\alpha = 1\%\) de significância estatística Sabemos que, sob \(H_{0}\), \[ \chi^2_{obs} \sim \chi^2_{(3-1)(2-1)} \] Logo, devemos encontrar \(c_{p}\) tal que \[ P(\chi^2_{2}> c_{p}) = 1\% \] Pela tabela, \(c_{p}=9.21\) Como \(15.47 > 9.21\), concluímos que, a sinistralidade não se distribui de forma homogênea entre os estados de SP, CE e PE a \(1\%\) de significância.

19.3.2 Outro Exemplo (independência)

Temos nossa tabela de valores observados: \[ \begin{array}{c|ccc|c} \mathrm{Opinião} & \mathrm{1ª~Tent} & \mathrm{2ª~Tent} & \mathrm{3ª~Tent} & \mathrm{Total} \\ \hline \mathrm{Excelente} & 62 & 36 & 12 & 110\\ \mathrm{Satisfatório} & 84 & 42 & 14 & 140\\ \mathrm{Insatisfatório} & 24 & 22 & 24 & 70 \\ \hline \mathrm{Total} & 170 & 100 & 50 & 320 \end{array} \] Nossa tabela de valores esperados (arredondados): \[ \begin{array}{c|ccc|c} \mathrm{Opinião} & \mathrm{1ª~Tent} & \mathrm{2ª~Tent} & \mathrm{3ª~Tent} & \mathrm{Total} \\ \hline \mathrm{Excelente} & 58 & 34 & 17 & 110 \\ \mathrm{Satisfatório} & 74 & 44 & 22 & 140\\ \mathrm{Insatisfatório} & 37 & 22 & 11 & 70 \\ \hline \mathrm{Total} & 170 & 100 & 50 & 320 \end{array} \] \[ \begin{aligned} \chi^2_{obs} &= \frac{(62-58)^2}{58} + \frac{(36-34)^2}{34} + \frac{(12-17)^2}{17} + \frac{(84-74)^2}{74} + \frac{(42-44)^2}{44} \\ &+ \frac{(14-22)^2}{22} + \frac{(24-37)^2}{37} + \frac{(22-22)^2}{22} + \frac{(24-11)^2}{11} = 26.14 \end{aligned} \] Considerando \(\alpha= 5\%\), precisamos encontrar \(c_{p}\) tal que \[ P(\chi^2_{4}>c_{p})=5\% \Rightarrow c_{p} = 9.49 \] Como \(26.14 > 9.49\), podemos concluir que, a \(5\%\) de significância estatística, existem evidências que o número da tentativa tem influência sobre a opinião do cliente.