Considere \[
\begin{cases}
\mathcal{H}_0 : \theta \in \Theta_0 \\
\mathcal{H}_1 : \theta \in \Theta_1
\end{cases}
\] as hipóteses nula e alternativa em que \(\Theta_0 \cup \Theta_1 = \Theta, \Theta_0 \cap \Theta_1 = \emptyset, \#(\Theta_0) \geq 1, \#(\Theta_1) \geq 1\). O teste de tamanho \(\alpha\)\(\delta^* : \mathfrak{X}^{(n)} \rightarrow \{0,1\}\) é uniformemente mais poderoso se, e somente se,
Para qualquer outro teste \(\delta\) tal que \(\pi_{\delta}(\theta) \leq \alpha, \underbrace{\forall \theta \in \Theta_0}_{\text{Sob}\ \mathcal{H}_0}\), então \[
\pi_{\delta^*}(\theta) \geq \pi_{\delta}(\theta), \underbrace{\forall \theta \in \Theta_1}_{\text{Sob}\ \mathcal{H}_1}.
\]
42.1 Teorema de Karlin-Rubin (I)
Uma generalização do Lema de Neyman-Pearson.
Seja \(\boldsymbol{X}_n\) a.a. de \(X \sim f_\theta, \theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}\). Considere \[
\begin{cases}
\mathcal{H}_0 : \theta \leq \theta_0\\
\mathcal{H}_1 : \theta > \theta_0
\end{cases}
\] em que \(\theta_0\) é um valor dado. Se a razão de verossimilhanças\[
\mathrm{R}_{\theta',\theta''}(T(\boldsymbol{x}_n)) = \frac{\mathcal{L}_{\boldsymbol{x}_n}(\theta')}{\mathcal{L}_{\boldsymbol{x}_n}(\theta'')}
\] for monótona não-decrescente e \(\theta' \geq \theta''\), em que \(T(\boldsymbol{x}_n)\) é uma estatística suficiente para o modelo, então o teste \(\delta^* : \mathfrak{X}^{(n)} \rightarrow \{0, 1\}\) tal que \[
\delta^* (\boldsymbol{x}_n) = \begin{cases}
0,&\ T(\boldsymbol{x}_n) < c \\
1,&\ T(\boldsymbol{x}_n) \geq c,
\end{cases}
\] e \(c\) satisfaz \[
\pi_{\delta^*}(\theta_0) = P_{\theta_0}(\delta^*(\boldsymbol{x}_n) = 1) = \alpha,
\] é o teste uniformemente mais poderoso de tamanho \(\alpha\).
42.1.1 Exemplo (Normal)
Seja \(\boldsymbol{X}_n\) a.a. de \(X\sim N(\theta, 2), \theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}\). Considere \[
\begin{cases}
\mathcal{H}_0 : \theta \leq 1\\
\mathcal{H}_1 : \theta > 1.
\end{cases}
\] Encontre o TUMP de tamanho \(\alpha = 10\%\).
42.1.1.1 Resposta
A função de verossimilhança é dada por \[
\begin{aligned}
\mathcal{L}_{\boldsymbol{x}_n}(\theta) &= \left(\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\right)^n \mathrm{Exp}\left\{
-\frac{1}{4} \sum (x_i - \theta)^{2} \right\} \\ &=
\left(\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\right)^n \mathrm{Exp}\left\{
-\frac{1}{4} \sum x_i^2 - 2\theta\sum x_i + n\theta^2 \right\}.
\end{aligned}
\] Pelo Critério de Fatoração de Fisher, \(T(\boldsymbol{X}_n) = \sum x_i\) é uma estatística suficiente. Note que \[
\begin{aligned}
\mathrm{R}_{\theta',\theta''}(T(\boldsymbol{X}_n)) &= \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\right)^n \mathrm{Exp}\left\{
-\frac{1}{4} \sum x_i^2 - 2\theta'\sum x_i + n\theta'^2 \right\}}{\left(\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\right)^n \mathrm{Exp}\left\{
-\frac{1}{4} \sum x_i^2 - 2\theta''\sum x_i + n\theta''^2 \right\}} \\
&= \mathrm{Exp}\left\{-\frac{1}{4}(-\theta'T(\boldsymbol{x}_n) + n\theta'^2 + 2\theta''T(\boldsymbol{x}_n) - n\theta''^2\right\} \\
&= \mathrm{Exp}\left\{\frac{1}{2}(\theta' - \theta'')T(\boldsymbol{x}_n)-\frac{1}{4} n\theta''^2 +\frac{1}{4}\theta''^2\right\}.
\end{aligned}
\] Como \(\theta' \geq \theta''\), temos que \(\theta' - \theta'' \geq 0\). Logo, \(\mathrm{R}_{\theta',\theta''}(T(\boldsymbol{x}_n))\) é uma função monótona não-decrescente em \(T(\boldsymbol{x}_n)\). Logo, pelo Teorema de Karlin-Rubin (I), temos que \[
\delta^*(\boldsymbol{x}_n) = \begin{cases}
0,&\ \sum x_i < c \\
1,&\ \sum x_i \geq c
\end{cases}
\] em que \(c\) satisfaz \[
\pi_{\delta^*}(1) = P_{1}(\sum X_i \geq c) = \alpha.
\]
Com \(n = 5\), temos que, quando \(\theta = 1\), \(\sum X_i \sim N(1 \cdot 5, 5 \cdot 2)\). Assim, \[
\begin{aligned}
P_{1}(\sum X_i \geq c) &= P_1\left(\frac{\sum x_i - 5}{\sqrt{10}} \geq \frac{c - 5}{\sqrt{10}}\right) = 0.1 \\
\Rightarrow \frac{c - 5}{\sqrt{10}} &= 1.28 \\
\Rightarrow c &= 1.28 \cdot \sqrt{10} + 5 = 9.064 \\
\Rightarrow \delta^*(\boldsymbol{x}_n) &= \begin{cases}
0,&\ \sum x_i < 9.064 \\
1,&\ \sum x_i \geq 9.064
\end{cases}
\end{aligned}
\] Portanto, se \(\sum x_i < 9.064\), dizemos que não há evidencias para rejeitarmos \(\mathcal{H}_0\) a \(10\%\) de significância estatística. Se \(\sum x_i \geq 9.064\), dizemos que há evidencias para rejeitarmos \(\mathcal{H}_0\) a \(10\%\) de significância estatística.
42.1.2 Exemplo (Exponencial)
Seja \(\boldsymbol{X}_n\) a.a. de \(X\sim \mathrm{Exp}(\theta), \theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}_+\). Considere \[
\begin{cases}
\mathcal{H}_0 : \theta \leq 2\\
\mathcal{H}_1 : \theta > 2.
\end{cases}
\] Encontre o TUMP de tamanho \(\alpha = 5\%\).
42.1.2.0.1 Resposta
A função de verossimilhança é dada por \[
\begin{aligned}
\mathcal{L}_{\boldsymbol{x}_n}(\theta) &= \theta^n \cdot \mathrm{e}^{-\theta \sum x_i}.
\end{aligned}
\]
Pelo Critério de Fatoração de Fisher, \(T(\boldsymbol{X}_n) = \sum X_i\) é uma estatística suficiente. \[
\begin{aligned}
\mathrm{R}_{\theta',\theta''}(T(\boldsymbol{X}_n)) &= \frac{\theta'^n \cdot \mathrm{e}^{-\theta' \sum x_i}}{\theta''^n \cdot \mathrm{e}^{-\theta'' \sum x_i}} \\
&= \left(\frac{\theta'}{\theta''}\right)^n \mathrm{Exp} \left\{ -\theta' T(\boldsymbol{x}_n) + \theta''T(\boldsymbol{x}_n) \right\} \\
&= \left(\frac{\theta'}{\theta''}\right)^n \mathrm{Exp} \left\{ (\theta'' - \theta') T(\boldsymbol{x}_n)\right\}, \theta' \geq \theta''.
\end{aligned}
\] Como \(\theta' \geq \theta''\), temos que \(\mathrm{R}_{\theta',\theta''}(T(\boldsymbol{X}_n))\) é decrescente em \(T(\boldsymbol{x}_n)\). Tome \(T'(\boldsymbol{x}_n) = - \sum x_i\), logo \[
\mathrm{R}_{\theta',\theta''}(T(\boldsymbol{X}_n)) = \left(\frac{\theta'}{\theta''}\right)^n \mathrm{Exp}
\left\{(\theta' - \theta'') T(\boldsymbol{x}_n)\right\}, \theta' \geq \theta''.
\] é monótona não-decrescente em \(T'(\boldsymbol{x}_n)\). Portanto, pelo Teorema de Karlin-Rubin (I), \[
\delta^*(\boldsymbol{x}_n) = \begin{cases}
0,&\ \sum -x_i < c \\
1,&\ \sum -x_i \geq c
\end{cases} \Rightarrow
\delta^*(\boldsymbol{x}_n) = \begin{cases}
0,&\ \sum x_i > -c \\
1,&\ \sum x_i \leq -c
\end{cases}
\] em que \(c\) satisfaz \[
\pi_{\delta^*}(1) = P_{1}(\sum X_i \leq -c) = \alpha.
\] Para \(n=10\), sob \(\theta = 2, \sum X_i \sim \mathrm{Gama}(10,2)\). Computacionalmente, o quantil \(0.05\) dessa distribuição é \(2.7127\). Logo, \(-c = 2.7127 \Rightarrow c = -2.7127\). Dessa forma, se \(\sum x_i > 2.7127\), dizemos que não há evidencias para rejeitarmos \(\mathcal{H}_0\) a \(5\%\) de significância estatística. Se \(\sum x_i \leq 2.7127\), dizemos que há evidencias para rejeitarmos \(\mathcal{H}_0\) a \(5\%\) de significância estatística.
42.2 Teorema de Karlin-Rubin (II)
Seja \(\boldsymbol{X}_n\) a.a. de \(X \sim f_\theta, \theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}\). Considere \[
\begin{cases}
\mathcal{H}_0 : \theta \geq \theta_0\\
\mathcal{H}_1 : \theta < \theta_0
\end{cases}
\] em que \(\theta_0\) é um valor dado. Se a razão de verossimilhanças\[
\mathrm{R}_{\theta',\theta''}(T(\boldsymbol{x}_n)) = \frac{\mathcal{L}_{\boldsymbol{x}_n}(\theta')}{\mathcal{L}_{\boldsymbol{x}_n}(\theta'')}
\] for monótona não-crescente e \(\theta' \leq \theta''\), em que \(T(\boldsymbol{x}_n)\) é uma estatística suficiente para o modelo, então o teste \(\delta^* : \mathfrak{X}^{(n)} \rightarrow \{0, 1\}\) tal que \[
\delta^* (\boldsymbol{x}_n) = \begin{cases}
0,&\ T(\boldsymbol{x}_n) > c \\
1,&\ T(\boldsymbol{x}_n) \leq c,
\end{cases}
\] e \(c\) satisfaz \[
\pi_{\delta^*}(\theta_0) = P_{\theta_0}(\delta^*(\boldsymbol{x}_n) = 1) = \alpha,
\] é o teste uniformemente mais poderoso de tamanho \(\alpha\).
42.2.1 Exemplo (Normal)
Seja \(\boldsymbol{X}_n\) a.a. de \(X\sim N(\theta, 2), \theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}\). Considere \[
\begin{cases}
\mathcal{H}_0 : \theta \geq 1\\
\mathcal{H}_1 : \theta < 1.
\end{cases}
\] Encontre o TUMP de tamanho \(\alpha\).
42.2.1.1 Resposta
A função de verossimilhança é dada por \[
\begin{aligned}
\mathcal{L}_{\boldsymbol{x}_n}(\theta) &= \left(\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\right)^n \mathrm{Exp}\left\{
-\frac{1}{4} \sum (x_i - \theta)^{2} \right\} \\ &=
\left(\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\right)^n \mathrm{Exp}\left\{
-\frac{1}{4} \sum x_i^2 - 2\theta\sum x_i + n\theta^2 \right\}.
\end{aligned}
\] Pelo Critério de Fatoração de Fisher, \(T(\boldsymbol{X}_n) = \sum x_i\) é uma estatística suficiente. Note que \[
\begin{aligned}
\mathrm{R}_{\theta',\theta''}(T(\boldsymbol{X}_n)) &= \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\right)^n \mathrm{Exp}\left\{
-\frac{1}{4} \sum x_i^2 - 2\theta'\sum x_i + n\theta'^2 \right\}}{\left(\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\right)^n \mathrm{Exp}\left\{
-\frac{1}{4} \sum x_i^2 - 2\theta''\sum x_i + n\theta''^2 \right\}} \\
&= \mathrm{Exp}\left\{-\frac{1}{4}(-\theta'T(\boldsymbol{x}_n) + n\theta'^2 + 2\theta''T(\boldsymbol{x}_n) - n\theta''^2\right\} \\
&= \mathrm{Exp}\left\{\frac{1}{2}(\theta' - \theta'')T(\boldsymbol{x}_n)-\frac{1}{4} n'\theta^2 +\frac{1}{4}\theta''^2\right\}.
\end{aligned}
\] Como \(\theta' \leq \theta''\), temos que \(\theta' - \theta'' \leq 0\). Logo, \(\mathrm{R}_{\theta',\theta''}(T(\boldsymbol{x}_n))\) é uma função monótona não-crescente em \(T(\boldsymbol{x}_n)\). Logo, pelo Teorema de Karlin-Rubin (II), temos que \[
\delta^*(\boldsymbol{x}_n) = \begin{cases}
0,&\ \sum x_i > c \\
1,&\ \sum x_i \leq c
\end{cases}
\] em que \(c\) satisfaz \[
\pi_{\delta^*}(1) = P_{1}(\sum X_i \leq c) = \alpha.
\]
42.3 Simulações
# Seja X a.a. de X ~ Exp()# H_0 θ ≤ 2; H_1 θ > 2# δ(x) = 1 ⟺ ∑ x ≤ 2.71usingDistributions, Random, StatsBaseRandom.seed!(24)# Borda do Θ_0θ_0 =2# Valores do teste e amostran =100α =0.05MC =10_000functionh0()# Sob H_0 θ_00 =rand(Uniform(0, θ_0)) d =Exponential(1/ θ_00) dsoma =Gamma(n, 1/ θ_00) c =quantile(dsoma, α) δ =zeros(MC)for i in1:MC x =rand(d, n) δ[i] =sum(x) ≤ cendreturnprintln("Testes rejeitados sob H_0: $(mean(δ) *100)%")endfunctionh1()# Sob H_0 θ_11 =rand(Uniform(θ_0, θ_0 +10)) d =Exponential(1/ θ_11) dsoma =Gamma(n, 1/ θ_11) c =quantile(dsoma, α) δ =zeros(MC)for i in1:MC x =rand(d, n) δ[i] =sum(x) ≥ cendreturnprintln("Testes rejeitados sob H_1 (Poder do teste): $(mean(δ) *100)")endh0()h1()
Testes rejeitados sob H_0: 4.9799999999999995%
Testes rejeitados sob H_1 (Poder do teste): 95.6